Все древние каноны, исходившие из математической закономерности, естественных форм строения человеческого тела, воссоздавали на этой основе систему пропорций, явившуюся результатом художественно- образного обобщения. Выбор мер в творчестве мастеров - это процесс вторичный. Египтяне, будучи эмпириками, нашли совершенные, идеальные пропорции, которые были положены в основу канонических типов изображения. Числа, становясь сакральными, начинали мыслиться как воплощение божественного начала.

Когда мы говорим об измерении, мы предполагаем две его формы - умозрительную, основанную на представлении и составляющую сферу философских понятий, и конкретно- практическую, опирающуюся на тела и предметы зримого мира. В том и другом случаях мы имеем дело с категориями пространства, времени и движения.

Движение представляет собой процесс, вызывающий изменения во времени; вместе с тем возникает и некий протяженный путь, который может быть измерен линейными мерами. Если путь пролегает в трехмерном пространстве, то для его фиксации потребуются уже меры объема. Все меры взаимосвязаны между собой; массу тел и направление их движения в пространстве и времени можно объять с помощью мысли и мерного инструмента, пользуясь для наглядности такими геометрическими фигурами, как треугольники, квадраты, кубы, окружности.

Механическое движение имеет количественную характеристику и подчиняется зримому порядку. По его законам развертываются строительные планы храмов и гробниц, пластические композиции, обретающие в завершенном виде внешнюю неподвижность при потенциальном движении, принимающем скрытые, символические формы.

Символическая связь божественного и человеческого начал прослеживается в иконографии древнеегипетских богов, многие из которых в своих ипостасях принимают антропоморфные образы; согласно древнеегипетским версиям происхождения мира, богов и людей, боги дали людям свой образ. Статуи представлялись "телами" богов, вместилищами духовной жизни. Когда человек после воскрешения становился воплощенным Осирисом, его духовная субстанция обретала себя в материальной оболочке, т.е. в теле. Отсюда духовное и телесное составляли у египтян единое целое. В Мемфисском сказании о происхождении мира говорится: "Он (Пта. - Н.П. ) родил богов, он создал города, он основал номы, он поставил богов в их святилища, он учредил их жертвы, он основал их храмы, он создал их тела по желанию их сердец. И вошли боги в свои тела из всякого дерева, из всякого камня, из всякой глины, из вся-

стр. 5

Таблица 1

Око Хора Удмсат, содержащее основные деления на дроби

ких вещей, которые на ней росли и в которых они приняли свои образы. И собрались вокруг него все боги и их Ка (двойники. - Н.П .)" 1 .

Образ египтяне называли словом twt (тут); со времени Древнего царства (III тыс. до Р.Х.) данное слово распространялось и на статую; это могли быть изображения бога, фараона или любого человека, независимо от иконографического типа, материала или размера. Тем же словом обозначалась фигура, исполненная не только в круглой скульптуре, но и на плоскости. Существительное twtw можно перевести как сходство 2 . Значит здесь, в древнеегипетском тексте, мы впервые встречаемся с пониманием образа как подобия. Древнеегипетское словосочетание twt'nh (тут-анх) буквально означает "живая статуя". Тем же словом twt египтяне называли отражение фигуры в глазе, что соответствовало греческому слову ("изображение", "фигурка").

Посредством мифопоэтической образной символики конкретное и отвлеченное видение у египтян не противопоставлялось. Око Уджат (животворящий глаз) несло в себе способность не только воскрешать умерших, но и служило мерной единицей. Согласно древнеегипетскому мифу о поединке Хора с Сетом, в результате которого злой Сет вырывает глаз Хора, око, возвращенное Хору, обретает магическую силу, изображение его становится амулетом.

В системе измерений с помощью глаза обозначались дроби (табл. 1). По одной из версий мифа. Сет, захватив глаз, разрезал его на 64 куска. Бог счета и мудрости Тот срастил все эти части, но 1/64 найти не удалось. Фазы Луны символически олицетворяли постоянно повторяющуюся борьбу Хора и Сета. Так, изображение частей рассеченного глаза стало обозначением дробей: зрачок соответствовал 1/4, бровь - 1/8, уголки глаз по веку - 1/2 и 1/6. Мера hnw (хену) образовывала следующий ряд: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, что совпадало с длительностями музыкально- ритмической структуры. В итоге сумма этого ряда составляла 63/64 с утратой 1/64 от целого.

Не только египтяне, но и другие народы древности и Средневековья, независимо друг от друга, создали свою измерительную систему, основанную на пропорциях строения человеческого тела и его частей. Но если у египтян за этим скрывались философско-религиозные воззрения, то другие народы пользовались подобными соотношениями чисто практически, находя их простыми и удобными.

Работы древних мастеров - зодчих, скульпторов, живописцев - поражают конструктивной логикой мышления, ясностью формы, соразмерностью всех элементов композиции, гармоничностью пропорций, лежащей в основе синтеза всех видов искусства, начиная с монументальной архитектуры и кончая памятниками малых форм - из-

стр. 6

делиями художественного ремесла. Конструктивная ясность мышления древних художников органично сочетается с глубиной образного содержания, с их внутренней одухотворенностью. Произведения искусства служат главным источником, позволяющим подойти к исследованию творческого метода мастеров древности. Даже в последующие эпохи, вплоть до Средневековья, приемы работы считались сокровенными. Как отмечал акад. Б.А. Рыбаков, "тайна расчетов и рецептов была характерна для всех средневековых мастеров: даже передавая наследие учителей и свой опыт ученикам, они старались зашифровать свои советы" 3 .

На основании исследований памятников искусства обнаружена четкая закономерность в приемах и методах работы мастеров, что позволяет вывести систему канона для Древнего Египта 4 .

Греческое слово канон в исходном смысле означало мерило, правило. Корень [греч. встречается в нескольких вариантах ряда семитских языков 5 . Слова с таким корнем в этих языках означали благородный тростник (orundo donax), из которого изготовлялись коромысла для весов и мерные прутья. Последние служили вещественным эталоном меры длины. Семиты еще в отдаленные времена связывали благородный тростник с определенной мерой длины (Иезекииль 40 : 5) или равновесия в значении коромысла весов (Исаия 46 : 6). Перенос этого значения из сферы конкретного применения в область умозрительного смысла был совершен уже греками. Следовательно, в первоначальном понимании канон сводился к сугубо практической стороне измерения. В дальнейшем фиксированная мера представлялась упорядоченной величиной и затем стала подменять собой канон в его значении порядка, норматива, закона.

Меры у народов всех стран восходили к пропорциям человеческой фигуры, а потому и основаны на антропоморфных единицах. Об этом знали и писали великие философы и художники древности - Геродот, Платон, Витрувий; Ренессанса - Пьерро делла Франческа, Леонардо да Винчи и наши современники - А.Ф. Лосев, С.С. Кобуладзе, Б.А. Рыбаков, И.П. Шмелев, французский архитектор А. Фурнье де Кора, норвежская художница Е.К. Килланд и многие другие. Платон в "Тимее" писал, что невозможно установить связь между двумя величинами без третьей - и эта последняя их объединяет, ибо нет лучшей связи, чем та, которая сама по себе делает из нескольких вещей единство 6 .

Среди различных пропорциональных соотношений имеется одна, обладающая наисовершеннейшим для глаз равновесием частей, - это пропорция золотого сечения. Золотое сечение не есть область математической абстракции, а естественный принцип выражения законов равновесия. Греческий софист Протагор сформулировал свой тезис так: "Человек - мера всех вещей"; египтяне выражали соразмерность пропорций архитектуры через богов - посредников в их человекообразной ипостаси - Тота, Сешат, Нут. Египтяне рано пришли к мысли, что в основе мироздания заложен порядок, который они приписывали божественному устройству. Закономерность, наблюдаемая в окружающем мире, в строении космоса, цикличности земных процессов, расчете календаря и времени разливов Нила - все подчиняется числовой символике. Таким образом, геометрика, сакрализуясь, оставалась в русле насущных задач.

В дошедших до нашего времени математических папирусах, текстах, содержащих хозяйственные уставы, и просто в незатейливых упражнениях в области арифметики и геометрии постоянно встречается мера локтей. Измерения с помощью локтей распространялись на вещи больших и малых размеров. Существовало несколько видов локтей, которые являлись своего рода эталонами измерений, несущими в себе крупные и мелкие единицы.

Древнеегипетский локоть как мера упоминается со времени IV династии (Древнее царство). В Египте было несколько видов локтей - среди них "фараонов" локоть mh

стр. 7

Таблица 2 Сравнительные меры малого и большого (фараонова) локтей

nsw-t (мех-несут) и так называемый малый локоть - mh srr (мех-шерер), составляющий 6/7 фараонова (табл. 2). Слово mh обозначало числовое понятие локтя, численная величина следовала за этим словом 7 . Длина локтей составляла от 52.5 до 54 см, соответственно размерам локтей измерительных моделей, обнаруженных в гробницах. Несколько подобных экспонатов имеется в Музее египетского искусства в Каире, которые в свое время, вероятно, являлись эталонами мер.

За классический тип локтя, сочетавшего в себе символические и конструктивные функции, может быть принят локоть, находившийся в Музее египетского искусства в Турине. Исследованием его занимался крупнейший египтолог Р. Лепсиус 8 , который установил его длину в 52.5 см. Туринский локоть был сделан из дерева (табл. 3). На фасной стороне его имеются разнообразные деления: на пальцы, ладонь, кулак, малую и большую пяди, а также на локти: dsr, локоть rmn, берущийся от плеча, и "фараонов" локоть. Соответствия между этими локтями устанавливаются посредством деления локтя - эталона на 28 частей, где каждая соответствует пальцу. В параллельном ряду имеется перечень 28 имен богов, который читается справа налево. Первым из них стоит имя Ра, открывающего Великую Девятку. Затем следуют восемь богов Эннеады, за которыми снова идет Ра, после него следует Хор с сыновьями и Тот - в 15-м пальце, что соответствует XV ному Верхнего Египта - Гермополю, месту обитания и почитания этого бога. В целом на туринском локте, помимо 28 богов, содержится и перечень номов: 22-х Верхнего Египта и 6-ти Нижнего. Рассматриваемый локоть, таким образом, устанавливает сравнительное сопоставление измерений, выраженных в разных единицах, в наименовании богов и номов, символически связанных друг с другом.

стр. 8

стр. 9

Впервые на связь между египетской системой линейных мер и единицами канона пропорций указал Р. Лепсиус 9 , и это подтверждают тексты, большей частью математические и отчасти касающиеся метрологии, о чем свидетельствует Геродот 10 . Согласно Геродоту, в Египте с древнейших времен можно установить наличие двух связанных между собой мер длины - малого локтя и "фараонова" локтя. Первый, вероятно, являлся исходной мерой, своего рода стандартом измерения, который использовался для повседневных целей чуть ли не с додинастического периода и вплоть до Саисской XXVI династии (VII в. до Р.Х.). После этого времени малый локоть практически выходит из употребления и сменяется "фараоновым", находившимся в прямой зависимости от малого. Малый локоть соответствовал длине предплечья от локтя до конца большого пальца, что составляло примерно 45 см. Он включал и более мелкие деления - шесть ладоней или, точнее, кистей руки в ширину около 7.5 см. Эта мера, в свою очередь, подразделялась на четыре пальца, а пальцы, в соответствии с древнеегипетской системой дробей, делились пополам, по третям, четвертям, по восьмым и т.д. Самая мелкая доля деления - 1/16 - являлась наименьшей единицей длины метрической системы и составляла примерно 1 мм. Естественно, что наименование "метрической" системы употреблено в нашем понимании. У египтян встречается также и изображение руки с мерным инструментом; прочтение этого знака вызывает разные толкования.

В качестве более мелких делений использовались размеры кулака, ширина кисти и пальцев. Две трети малого локтя составляют длину руки от предплечья до запястья. Четыре малых локтя четырежды содержатся в полном росте фигуры. Эта величина обозначалась египетским словом hpt (xenem) 11 и соответствовала мере в одну морскую сажень - около 1.82 м. Слово hpt в древнеегипетском языке означало "обнимать", "охватывать" и имело в качестве детерминатива изображение рук в обхвате Посредством этой величины фиксировался рост фигуры.

В Древнем Египте локти как эталоны измерения использовались не только в виде специальных предметов, но и фиксировались непосредственно на памятниках. На постаменте статуи сидящего фараона Рамсеса II из Луксора имеется черная горизонтальная полоса, нанесенная с боковой стороны постамента, где изображены божества Нила, связывающие геральдическую эмблему sma, символизирующую единство Юга и Севера страны. Горизонтальная полоса, врезанная en creux, приходится на уровне колена колосса. Длина ее 54 см соответствует локтю в 28 пальцев. Это одна из наиболее древних мер, использование которой перешло к коптам и арабам; она же применена и в замере подъема уровня воды Нила во время разливов. Такую меру, встречающуюся большей частью на статуях из камня и в композициях, где присутствуют божества Нила или их эмблемы, стали условно называть "черным локтем".

Аналогичная мера - локоть в 54 см - есть и в системе древнерусских мер, но, как отмечал Б.А. Рыбаков "в Древней Руси с XI по XVII в. существовало семь видов саженей и локтей, бытовавших одновременно" 12 . Это означает, что древнерусские мастера-зодчие и скульпторы пользовались одними и теми же мерами, что и египтяне, и, естественно, независимо друг от друга. Соотношения пропорций исходили из простейших построений треугольников, квадратов, прямоугольников и их диагоналей, дававших основные величины, применявшиеся в строительной практике и в скульптуре.

Посредством изображения фигуры человека в полный рост египтяне конкретизировали меру в одну морскую сажень, или один брас (около 1.82 м). Помимо чисто линейных мер, египетская сажень могла передавать и линейную, и угловую величины. Эта мера соизмерима с дугами окружности в 360 о , разделенной на 60 о и 45 о . Как дуговая мера брас соотносился с временными циклами египетского календаря - так в окруж-

стр. 10

Таблица 4

Фрагмент композиции из мастабы царицы. Мересанх III (IV дин. Древнее царство. Саккара.)

ности в 360 содержится 36 брасов, что соответствует 36 деканам временного цикла. Длина дуги в 60 так относится к хорде, как ширина охвата простертых в стороны рук к высоте человеческой фигуры, что можно выразить через Таким образом, фигура, вписанная в полуокружность радиуса, равного ее высоте, имеет в охвате дугу в 60.

Композиция с изображением мужской фигуры с разведенными в стороны руками известна еще с Древнего царства. Помимо меры в один брас эта фигура является единицей, уравновешивающей в пропорциях большинство элементов композиции. Поверх ее простертых рук наброшен кусок ткани, концы которой свисают с кистей. Эта мера содержится и в длине веревки, протянутой от последней фигуры к первой из группы мужчин, тянущих силки (табл. 4).

Установление меры в один брас, соответствующей четырем малым локтям, принадлежит египтянам. Из подобных соотношений в дальнейшем исходили и исследователи, и создатели различных систем канонов, начиная с античности и до Ренессанса. Их общность основана на строении человеческого тела в золотом сечении, а потому и приемы выражения пропорций во многом оказываются сходными. Рост фигуры в 4 локтя (6 ладоней в ширину четырех пальцев) принимается и Витрувием, и Леонардо да Винчи. В их произведениях фигура с простертыми руками вписывается в квадрат и круг. Центр окружности приходится на пуп, являющийся и точкой деления фигуры в золотом сечении. В дальнейшем мера раскинутых рук в 4 локтя будет принята в античном и ренессансном каноне за идеальную фигуру (Витрувий, Леонардо да Винчи).

стр. 11

Таблица 5

стр. 12

Строительная логика мастеров Древнего Египта исходила из тех же принципов, что и зодчих последующих эпох - арабов, мастеров Древней Руси. В книге Б.А. Рыбакова неоднократно упоминается труд Абдуль-Вафа (940-998) и современный ему Тмутараканский график 13 . Простейшие соотношения, выведенные в нем, были известны египтянам и использовались ими: построение сдвоенных квадратов, равностороннего треугольника, равновеликого квадрата, квадрата, вписанного в окружность, а также системы так называемых "динамических прямоугольников", основанной на соотношении квадрата и диагоналей последующих прямоугольников, дающих - величины: и т.д. 14 .

В работе Б.А. Рыбакова есть указание на соотносимость линейных мер длины: локтей - с окружностью, выведенной египтянами арифметически, откуда следует, что малый локоть в 46 см выражается через сторону квадрата, вписанного в круг диаметром в "фараонов" локоть (52 см) - отношение или 0.886 15 .

Аналогичного рода геометрическая сопряженность величин прослеживается и в древнерусских мерах. Эту закономерность в геометрической сопряженности древнерусских "прямой" и "косой" саженей выводил Б.А. Рыбаков 16 , отмечая, что прямая сажень является стороной квадрата, а косая - его диагональю -

Этот принцип соотношения сторон квадрата с диагональю лежит в основе приема "разрастания" композиции, построенной методом последовательного вписывания квадратов в окружности, исходящие из одного центра, причем радиус каждой последующей окружности будет равен диагонали квадрата, вписанного в предыдущую. По этому принципу строятся композиции памятников искусства Древней Руси; подобные же соотношения можно обнаружить и в Египте, и в Месопотамии.

В строительной практике египтян в качестве меры чаще использовался малый локоть в 0.45 м. Это подтверждается непосредственно самими памятниками, на которых указаны расчеты, сделанные древнеегипетским мастером. Исключительно редкую группу памятников составляют планы архитектурных сооружений. Среди них можно отметить план гробницы, начертанный на папирусе, хранящемся в Туринском музее. Публикация этого документа принадлежит Лепсиусу 17 . В 1889 г. египтолог Г. Дерсси во время раскопок в Бибан эль-Молук нашел большое число остраконов, покрытых рисунками и надписями; среди них оказался план (табл. 5 ), аналогичный тому, который изображен на Туринском папирусе 18 . В отличие от него набросок плана гробницы, сделанный от руки на осколке камня длиной в 0.835 м, представлял собой беглую зарисовку, вероятно, вспомогательного назначения. Хотя план нанесен на неровную поверхность камня весьма приблизительно (к тому же камень был разбит на четыре куска), этот набросок позволяет установить единицы мер, использовавшихся при обмерах царских гробниц.

Сравнительное сопоставление нескольких планов дает возможность считать их каноническими, ибо они имеют идентичную последовательность помещений, спускающихся в глубь скалы, начиная с наклонно идущей лестницы и кончая святилищем, выбитым в скале. Таким образом, план, являясь своего рода моделью царской гробницы, мог содержать в себе и канонические пропорции, по которым соотносились размеры отдельных культовых помещений и связывающие их проходы (табл. 6).

На плане остракона обозначения количественных мер слабо различимы, ибо краска почти стерлась, остался лишь желтоватый контур, по которому можно разобрать некоторые размеры: проход, ведущий в сакральную камеру, имел в длину 30 локтей, в ширину - 6, в высоту - 7 локтей. За единицу принимался малый локоть - 0.45 м, что подтверждается и сопоставлением с планом Туринского папируса. По надписям и отметкам в плане можно определить назначение культовых помещений, связанных с литанией солнца.

стр. 13

Таблица 6

Сравнительные данные размеров в плане, предположительно относимого к гробнице N 6

Назначение помещений

Размер по плану

Обмеры гробницы N 6 по действительным размерам

1 коридор

30 локтей = 13.50 м

дверь 1.00 м = 18.00м коридор 17.00м

2 коридор

30 локтей = 13.50 м

дверь 1.00 м = 11.00м коридор 10.00 м

3 коридор

30 локтей = 13.50 м

дверь 1.00 м = 12.45м коридор 11.45 м

1 камера

10 локтей = 4.50 м

дверь 1.00 м = 4.45 м комната 3.85 м

2 камера

20 локтей = 9.00 м

дверь 4.64 м = 10.54м комната 6.90 м

3 камера

25 локтей = 11.25м

дверь 1.40 м = 12.30м комната 10.90 м

Для сопоставления древнеегипетских мер и измерений метрической системы Г. Дерсси приводит сравнительную таблицу обмеров по чертежу плана в локтях (учитывая, что план был сделан от руки) и метрах соответственно с реальными обмерами внутренних помещений гробницы. План на остраконе, обнаруженный в гробнице Рамсеса VI, имеет большое сходство с обмерным планом. Однако автор ставит под сомнение принадлежность плана именно этой гробнице, поскольку он является своего рода канонической моделью; так как различия в обмерах гробниц с данным планом весьма незначительны, он мог принадлежать в той же мере и гробнице Сети I, лежащей поблизости от местонахождения остракона.

Интересно, что Б.А. Рыбаков нашел на Таманском городище и Старо-Рязанском городище чертежи-"вавилоны" IX-XII вв. 19 , обнаруживающие связь со строительными принципами древних египтян и их мерами длины. Вырезанные на плите розового песчаника квадраты-"вавилоны" содержали меры в 19 см (сторона наибольшего квадрата, равная русской "малой пяди" - 1/8 прямой сажени). Такая же мера составляет 1/8 древнеегипетской сажени, или половину малого локтя. Подобная сходимость возникает благодаря тому, что источником мер служило человеческое тело.

Любопытные сведения содержатся в главе книги Б.А. Рыбакова, в которой говорится о расчетной работе зодчего. Сведения почерпнуты автором из славянского варианта "Сказания о Соломоне и Китоврасе" (XII в.). Здесь упомянуто "очертание", равнозначное понятию плана. В качестве инструментов-эталонов мер употреблены деревянные мерила по 4 локтя. "Очевидно, - пишет Б.А. Рыбаков, - волшебный "архитектор" Китоврас был наделен автором сказания реальными принадлежностями русского зодчего в виде изготовленных из дерева саженей, подразделенных на 4 локтя" 20 .

Египтяне конкретизировали сажень (так называемую морскую сажень - 1.82 м) посредством полного роста фигуры, содержащей 6 длин стопы (6 футов). На Руси "морская сажень" была определена Б.А. Рыбаковым примерно в 183 см, т.е. в четыре локтя по 45.7 см. Подобно изображению русского кентавра с жезлами на стенах Ге-

стр. 14

оргиевского собора в Юрьеве-Польском (1230), древнеегипетский мастер около XXVIII в. до Р.Х. изобразил реального зодчего Хесира в рельефе на деревянных обшивках его гробницы - мастабы в Саккара.

В эпоху Нового царства через "черный" локоть в 54 см метрически выражались пропорции канонической фигуры. Строение человека соизмеримо у египтян с локтем в 24 пальца, что соответствовало четверти охвата, или 1/4 браса - единицы в 96 пальцев. Следовательно, локоть в 54 см - есть священная мера, отличная от естественных пропорций; она получается из расчета величины одного браса в 45, что составляет около 1.85 м. Тогда один палец приблизительно равен

"Черный" локоть состоит из 28 пальцев, следовательно, его размер 54 см. Таким образом, посредством "черного" локтя устанавливались священные пропорции, в соответствии с которыми мастера делали статуи и строили храмы, а также естественные, исходящие из строения тела. Отсюда можно вывести канонические меры пропорций, встречающиеся в древнеегипетских памятниках, составляющие постоянное соответствие частей и целого в принятых мерах длины:

1 ладонь = 4 пальца

1 кулак = 6 пальцев

2 ладони = 8 пальцев

3 ладони = 12 пальцев = 1 малая пядь

3.5 ладони = 14 пальцев = 1 большая пядь

4 ладони = 16 пальцев = 1 локоть dsr

5 ладоней = 20 пальцев = 1 локоть rmn

6 ладоней = 24 пальца = 1 малый локоть

7 ладоней = 28 пальцев = 1 "фараонов" локоть

1 брас = 96 пальцев

1/4 браса = 24 пальца = 46.2 см = 1 малый локоть

1/6 браса = 16 пальцев = 30.87 см = 1 локоть

Итак, меры локтей, о которых шла речь выше, содержали в себе линейные и объемные величины. Подтверждением могут являться свидетельства древнеегипетских источников. Тексты содержат немалые сведения, но не дают ни наглядного материала, ни практического раскрытия его применения, что особенно ценно для исследования памятников.

Посредством локтей можно было найти выражение и объемных мер - это подтверждают модели кубических локтей; кроме того, египтяне пользовались и специальными мерами объема.

Уже упомянутая мера hnw, известная как мера текучих тел, составляла около 0.45 литров; мера (хекат) равнялась 1/10 части hnw. Соотношения между одним кубическим локтем и мерами объема, о которых идет речь, можно проследить по табл. 7. Мера (вместилище для зерна, массы в количестве 20 известная еще со Среднего царства 21 , равнялась двум третям кубического локтя и применялась при измерении сферического пространства. В то же время вошла в употребление и мера - мера зерна около 4.785 литра 22 , используемая также для мирры, ладана и даже золота. Она содержала деления на 64 части, что было связано с одной из версий мифа о поединке Хора с Сетом.

Выведенные соотношения подтверждает задача N 64(1), содержащаяся в математическом папирусе Ринд 23 . Она наглядно иллюстрирует методы математического расчета древних египтян, пользовавшихся разложением чисел на ряды для замены умножения сложением и деления вычитанием (табл. 8). Суть заключается в том, чтобы разделить 10 мер ячменя (10 на десять человек. Слово prw, вероятно, обозначало разность. И, действительно, разность составляет 1/8 . Вычитая 1 из

стр. 15

Таблица 7

Сравнительная таблица мер объема в их соотношениях с кубическим локтем

10, получим остаток 9. Если на единицу приходилась разность в 1/8, то половину разности составит 1/16. Умножение 1/16 на 9 можно заменить сложением 1/2 + 1/16 часть . Согласно данному условию задачи: 10 мер (10 ) приходится на 10 человек -египетский писец развивает метод решения, представляя меру в 1 как 1/2 + 1/2, дробя единицу пополам. Таким образом, у него выстраивается ряд (нижняя - 6-я цифровая строка папируса).

Здесь имеется ряд нечетных чисел, числители которых составляют арифметическую прогрессию. Условие задачи с первого взгляда может показаться примитивным, связанным с узко практической целью, однако ход рассуждения указывает на то, что египтяне из конкретного незамысловатого примера умели вывести красивое обобщенное решение с нахождением среднеарифметического члена, для которого употреблен специальный термин - "средняя часть".

Говоря о значении древнеегипетской математики, не следует примитивизировать ее, как это склонен делать известный немецкий специалист в области истории древней математики О. Нейгебауер 24 . Ряды чисел прогрессии, гармонические пропорции - вот материал, которым безупречно владели египтяне на практике и в теории. Выбор фиксированных мер не случаен, и в его основе заложено глубокое осмысление взаимосвязи явлений.

Исследование древнеегипетских папирусов убедительно доказывает, что египетские математики были хорошо осведомлены в области гармонии чисел и пропорций. Числовые соотношения, выражающие структуру композиционного строения памятников изобразительного искусства и музыки, совпадают. Метроритмические единицы музыкального произведения составляют целые, половины, четверти, восьмые, шестнадцатые, тридцать вторые, шестьдесят четвертые. Акустические законы соот-

стр. 16

Таблица 8

Задача N 64(I) папируса Ринд

стр. 17

ветствуют тем же гармоническим пропорциям, которые заложены в основе мер, отвечающих каноническим правилам построения человеческой фигуры. Схематически эту канву можно представить так: отрезок, принимаемый за целое, делим пополам на две единицы (1 + 1), далее на 3 части (2 + 1), затем, соответственно, на 5, 9, 17 частей - (4 + 1), (8 + 1), (16 + 1). Получим ряд чисел, кратных двум: 1, 2, 4, 8, 16. В папирусе Ринд уже встречалось выражение чисел через n + 1. В данном случае ряд чисел n образует геометрическую прогрессию. В верхней строке таблицы показаны отношения между двоичной и троичной системой. Подобным образом выстраивается шкала по числам 2, 3, 5, 9 или отношения - 9:8,2:3,1:1и симметричный зеркальный ряд 1 : 1, 3 : 2, 8 : 9. Эти же соотношения будут соответствовать шкале чистых интервалов музыкальной гаммы 1 : 1 (унисон), 1 : 2 (октава), 2 : 3 (квинта) и в обращении - 3 : 2 (кварта), 4 : 3 (квинта). Числом 5 обеспечиваются следующие консонирующие интервалы - 5 : 4 (большая терция), 8 : 5 (малая секста), 5 : 3 (большая секста). Диссонансы выстраиваются в таких соотношениях - 9 : 5 (малая септима), 9 : 8 (целый тон) и т.д.

Шкалу музыкальных обертонов дает натуральный звукоряд. Натуральный звукоряд имеет параллель со спектром, на который раскладывается гамма цветов. В памятниках изобразительного искусства меры обретают зримые формы выражения в пропорциях, способствуя охвату крупных композиций единым взглядом. Музыкальное произведение развивается во времени. Поскольку сам звук объемен, он охватывает больше параметров и принадлежит сразу нескольким сферам, имея временную и пространственную протяженность. Но тем самым звук ограничен в своем бытии. Система мер звука, колебания струны остаются загадкой; видимой формой выражения этих мер являются числа. Число ведет к основам музыкальной гармонии, которая по традиции восходила к Пифагору в его обозначении порядка, царящего в мире. Однако возможно, что египтяне предвосхитили Пифагора.

Представление о древнеегипетской музыке можно составить лишь опосредованно, на основании дошедших музыкальных инструментов и их изображений. Таким образом предпринимались попытки установить строй египетской музыкальной гаммы. Первая из них принадлежала русскому ученому А. Мачинскому, который избрал арфы как наиболее удобный инструмент для исследования. Если полагать, что пропорции инструментов достаточно точно выдержаны в рельефах и росписях, то строй арф можно вычислить по отношению длин струн к самой длинной и путем сравнения средних отношений у однотипных инструментов 25 . В Древнем Египте употреблялись дуговые и угловые арфы, вид которых определялся формой резонатора. Изображения угловой арфы в руках бога Бэса с рельефа храма Исиды на острове Филе использует в качестве образца исследователь в области канона пропорций Шваллер де Любич 26 , проделывая кропотливые расчеты для обнаружения закономерности числовых отношений (табл. 9 ). Точки, лежащие на пересечении линий, соответствующих делениям: 1, 2, 4, 8 и 1, 3, 9, 27, определяют отношения 1: 2 (октава), 2 : 3 (квинта), 3 :4 (кварта) - в результате получится гармоничный аккорд C-C-G-C.

В основе учения о гармонии лежит философия чисел. Музыкальная гармония - это сочетание звуков в аккорде; слияние частей в целое - акустически выражается в звуковысотных отношениях, заложенных в пропорциях простых, чистых интервалов. Гармонические пропорции можно представить шкалой музыкальных интервалов, образующих строгий порядок, в основе которого заложен закон симметрии. Наличие меры делает возможным соподчинение элементов между собой, образуя целое.

Феномен музыкальных интервалов - это выражение порядка в прямом и производном отношениях; явление вибрации имеет физическую природу и количественное выражение, зависящее от шкалы строения музыкальных интервалов. Однако те скудные сведения о древнеегипетской музыке, которые мы можем почерпнуть опо-

стр. 18

Таблица 9

Натуральный звукоряд, составляющий гармоническую шкалу музыкальных интервалов

средованным путем через изобразительное искусство или логическим методом расчета и сопоставления, ни в коей мере не могут восполнить представления о том, как она звучала 27 .

Египтяне понимали числовые соотношения не абстрактно, а органично, выстраивая по ним композиции памятников. В росписи гробницы фараона Рамсеса IX (табл. 10) композиция строится по соотношениям священного египетского треугольника - таким образом ритуальная символика перекликается с числовой. Катеты треугольника, образуемые телом змеи, составляют отрезки, из которых первый равен половине роста фигуры с поднятыми руками, второй - большему отрезку деления ее высоты в золотом сечении. Расстояние от концов пальцев поднятых рук до макушки определяет следующие размеры - центр окружности, в которую вписана фигура (без рук), от-

стр. 19

Таблица 10

Фрагмент композиции из гробницы фараона Рамсеса IX

стоит от верхнего предела на три такие единицы, а ее радиус - на две. В окружность вписываем пятиугольник, стороны которого равны половине роста фигуры с поднятыми руками (1/2 Н). Тогда фигура без рук от макушки до стопы (h), будет соответствовать высоте пятиугольника. В геометрических построениях замечены следующие соотношения: диаметр окружности так относится к диагонали пятиугольника, как эта диагональ к его высоте.

С измерительной системой Древнего Египта связан механизм сетки квадратов - механического приспособления, выражающего пропорции фигур, изображенных в канонических позах. Этот механизм оказался достаточно простым и гибким приспособлением, наглядно демонстрирующим соразмерность между целым и его частями. Пропорции определяли выбор мер, базирующихся на соотношениях чисел, считавшихся в Древнем Египте священными. Как уже было показано, пропорции исходили из высоты фигуры: голова, большей частью равная размеру стопы, составляла 1/6 роста, рука с согнутой кистью от локтя до кулака (размер, близкий малому локтю) укладывалась пять раз в фигуре. При этом следует учитывать, что величина локтя берется не как фиксированная отвлеченная мера длины, а в соответствии с пропорциями данной фигуры, ибо именно ее локоть, ее кулак, ее стопа выступают в качестве единиц измерения.

Из подобных соотношений исходили и последующие исследователи и создатели различных систем канонов, начиная с античности и до Ренессанса. Общность их основана на строении человеческого тела в золотом сечении, а потому и приемы выражения пропорций во многом сходны.

В заключение можно сказать, что все древние каноны, исходившие из математической закономерности, естественных форм строения человеческого тела воссоздавали на этой основе систему пропорций, явившуюся результатом художественно-образного обобщения. Выбор меры в художественной практике есть процесс вторичный, раскрывающий и фиксирующий установленные нормы. Египтяне, закрепляя решение, найденное в процессе практики, получили совершенные идеальные пропорции, которые затем были положены в основу канонических типов человеческой

стр. 20

фигуры и иконографии богов; числа, становясь сакральными, начинали мыслиться как воплощение божественного начала.

ПРИМЕЧАНИЯ

1 Mamьe М.Э. Древнеегипетские мифы. М. 1956. С. 84.

2 А. Erman, H. Grapow. Worterbuch der Aegyptischen Sprache. В., 1955. Bd. V. S. 257 (19).

3 Рыбаков Б.А. Из истории культуры Древней Руси. М., 1984. С. 82.

4 Померанцева Н.А. Эстетические основы искусства Древнего Египта. М., 1985. С. 100-115.

5 Oppel H. Kanon. Zur Bedeutungsgeschichte des Wortes und seiner lateinischen Entspechungen // Regula-Norma. Philologus, Supplementband Leipzig, 1937. Bd. XXX. Het 4. S. 1.

6 Plato. Timaios, 31. .BC.

7 A. Erman, H. Grapow. Op. cit. Bd. II. S. 120 (3, 4).

8 Lepsius R. Altaegyptische Elle und Ihre Eintheilung // Abhandlung der Koniglichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. В., 1865. S. 53.

9 Lepsius R. Die Langenmasse der Alten. В., 1884.

10 Herodotus II, 149.

11 А. Erman, H. Grapow. Op. cit. Bd. III. S. 71.

12 Рыбаков Б.А. Указ. соч. С. 8.

13 Там же. С. 91.

14 Владимиров В.Н. Пропорции в египетской архитектуре // Всеобщая история архитектуры. М., 1944. Т. 1. С. 7.

15 Рыбаков Б.А. Указ. соч. С. 91.

16 Там же. С. 85.

17 Lepsius R. Grundplan des Grabers Konig Ramses IV // Abhandlung der Koniglichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. В., 1867.

18 Daressy G. Un plan egyptien d'une tombe royale // Revue archeologique. Serie 3. P., 1898. V. 32. P. 235-240.

19 Рыбаков Б.А. Указ. соч. С. 87.

20 Там же. С. 83, 84.

21 А. Erman, H. Grapow. Op. cit. Bd. III. S. 363 (1, 2).

22 Ibid. S. 174(11-15).

23 Peet E. The Rhind Mathematical Papyrus. L., 1923. P. 64.

24 Нейгебауер О. Точные науки в древности. М., 1968. С. 83, 84.

25 Matchinsky A. A propos de la gamme musicale Egyptienne // Кружок по изучению Древнего Востока при Гос. Эрмитаже. Л., 1935. Вып. 2. С. 24, 25.

26 Schwaller de Lubicz R.A. Le Temple de l'Homme. Apet du Sud a Louqsor. P., 1957. V. 1. P. 369.

27 Померанцева Н.А. Отзвук древнеегипетской музыки // Искусство (Приложение к газете "Первое сентября"). 2001. N 23 (239).

Permanent link to this publication: